I.  ĐỊNH NGHĨA LOGARIT

Cho hai số dương a,b với a≠1, số α thỏa mãn đẳng thức \({{a}^{\alpha }}=b\) được gọi là logarit cơ số a của b và có kí hiệu là \({{\log }_{a}}b\)

\(\alpha ={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b.\)

Chú ý: Không có logarit của số âm và số  0 ⇒ b > 0.

II.  TÍCH CHẤT LOGARIT

Cho hai số dương a, b với a≠1, b > 0, ta có tính chất logarit là: 

• \({{\log }_{a}}1=0\).
• \({{\log }_{a}}a=1\).
• \({{\log }_{a}}{{a}^{\alpha }}=\alpha\).
• \({{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\).

III.  QUY TẮC TÍNH LOGARIT

Với b, c >0; 0< a ≠ 1, ta có quy tắc tính logarit là:

• \({{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( bc \right)\).
• \({{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)\).
• \({{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha .{{\log }_{a}}b,\forall \alpha\).
• \({{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b\).

IV.  ĐỔI CƠ SỐ LOGARIT

Với b > 0; 0 <a, c ≠ 1, ta có các cách đổi cơ số logarit như sau:

• \({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\).
• \({{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\left( b\ne 1 \right)\).
• \({{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b\left( \alpha \ne 0 \right)\).

V. LOGARIT THẬP PHÂN, LOGARIT TỰ NHIÊN

Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số là 10.

Kí hiệu: \(\log b\) hoặc là \(\lg b\).

Logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên là logarit cơ số e với \(e=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\).

Kí hiệu: \(\ln b\).

VI. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ LOGARIT 

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau: \({{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2\), \({{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}\).

Lời giải tham khảo:

a) \({{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2\)

\(=\left( {{\log }_{3}}6.{{\log }_{6}}2 \right)\cdot {{\log }_{{{2}^{3}}}}{{3}^{2}}\)

\(={{\log }_{3}}2.\frac{2}{3}{{\log }_{2}}3=\frac{2}{3}\)

b) \({{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}\)

\(={{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{a}}{{b}^{2}}\)

\(=2{{\log }_{a}}{{b}^{2}}=4{{\log }_{a}}\left| b \right|\)