I.  LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n (n là số nguyên dương) của a là tích của n thừa số a.

\({{a}^{n}}=\underbrace{a.a......a}_{n}\) (n là thừa số)

Trong đó: a là cơ số, n là số mũ

Lũy thừa với số mũ nguyên âm và 0

Với a ≠ 0 thì \({{a}^{0}}=1,{{a}^{1}}=a,{{a}^{-n}}=\frac{1}{a},{{a}^{-1}}=\frac{1}{a}\)

Chú ý:

• \({{0}^{0}},{{0}^{-n}}\) không có nghĩa.
• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a ≠ 0.
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

II.  PHƯƠNG TRÌNH \({{x}^{n}}=b\)

Xét phương trình \({{x}^{n}}=b\), ta có kết quả biện luận số nghiệm như sau:

Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình \({{x}^{n}}=b\) có nghiệm duy nhất.

Trường hợp n chẵn:

• \(b<0\): phương trình vô nghiệm.
• \(b=0\): phương trình có một nghiệm \(x=0\).
• \(b>0\): phương trình có hai nghiệm trái dấu \(x=\pm\sqrt[n]{b}\).

III. CĂN BẬC N

Khái niệm:

Cho n là số nguyên dương \(n\left( n\ge 2 \right)\) và số thực a. Nếu \({{a}^{n}}=b\) thì a là căn bậc n của b

Tính chất:

• \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
• \(\sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a\)
• \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
• \(\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}\)
• \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\)
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\)
• Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\)

IV. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

Với a là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\), trong đó \(m \in Z,n \in N,n \ge 2\), ta có:

\({{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\)

Chú ý: \({{a}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a}\).

V. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỈ

Với a là một số dương, α là một số vô tỉ, ta có dãy số hữu tỉ:

\({{a}^{\alpha }}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}\) với \(\alpha =\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}\).

VI. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA

Cho a, b là các số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có tính chất của lũy thừa:

• \({{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\).
• \(\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\).
• \({{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}\).
• \({{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}{{a}^{\beta }}\).
• \({{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\).
• Nếu a>1 thì \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta\).
• Nếu 0<a<1 thì \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta\).

VII. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ LŨY THỪA

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau: \(\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}\left( {{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{4}}}\left( {{a}^{\frac{3}{4}+{{a}^{\frac{-1}{4}}}}} \right)}\); \(\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}\).

Lời giải tham khảo:

a) \(\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}\left( {{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{4}}}\left( {{a}^{\frac{3}{4}+{{a}^{\frac{-1}{4}}}}} \right)}\)

\(=\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{a}^{\frac{1}{4}}}{{a}^{\frac{3}{4}}}+{{a}^{\frac{1}{4}}}{{a}^{\frac{-1}{4}}}}\)

\(=\frac{a\left( 1+a \right)}{a+1}=a\)

b) \(\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}} =\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\)

\(=\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}=\frac{{{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{3}{6}}}+{{b}^{\frac{2}{6}}}{{a}^{\frac{3}{6}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\)

\(=\frac{{{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{2}{6}}}\left( {{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}={{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{2}{6}}}={{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}\)

\(=\sqrt[3]{ab}\)