Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tính chất] [Công thức] Modun số phức cùng tổng hợp lại các kiến thức về modun số phức và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I. MODUN SỐ PHỨC LÀ GÌ?

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OM}\) được gọi là modun của số phức \(z=a+bi\).

Kí hiệu là: \(\left| z \right|\).

Áp dụng định lí Pytago ta có modun số phức bằng:

\(\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|\Leftrightarrow \left| a+bi \right|\)
\(=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

II. TÍNH CHẤT CỦA MODUN SỐ PHỨC

Tính chất của modun số phức là

  • Hai số phức đối nhau có modun bằng nhau nghĩa là |z| = |-z|.
  • Hai số phức liên hợp có modun bằng nhau nghĩa là |a + bi| = |a - bi|.
  • |z| = 0 ⇔ z = 0.
  • Tích của hai số phức liên hợp bằng bình phương modun của chúng nghĩa là \(z. \overline{z}=\left| z \right|^2\).
  • Mô đun của một tích bằng tích các modun nghĩa là \(\left| z_1 .z_2 \right|=\left| z_1\right|. \left|z_2 \right|\).
  • Modun của một thương bằng thương các modun nghĩa là \(\left| z_1 \over z_2 \right| ={{\left| z_1\right|} \over {\left|z_2 \right|}}\).

III. BẤT ĐẲNG THỨC MODUN SỐ PHỨC

Vì modun của số phức là độ dài đoạn thẳng trong mặt phẳng, dựa vào các bất đẳng thức trong tam giác ta có thể suy ra được các bất đẳng thức mô đun tương tự.

\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) dấu “=” xảy ra ⇔ \(z_1=k.z_2,\ k\ge 0\).

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) dấu “=” xảy ra ⇔ \(z_1=k.z_2,\ k\le 0\).

\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\) dấu “=” xảy ra ⇔ \(z_1=k.z_2,\ k\le 0\).

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\)  dấu “=” xảy ra ⇔ \(z_1=k.z_2,\ k\ge 0\).

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ MODUN SỐ PHỨC

Ví dụ: Tính modun các số phức sau: \(z=-2+i\sqrt{3}\), \(z=\sqrt{2}-3i \).

Lời giải tham khảo:

a) \(\left| z \right|=\left| -2+i\sqrt{3} \right|\)

\(=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{7}\)

b) \(\left| z \right|=\left| \sqrt{2}-3i \right|\)

\(=\sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{11}\)

‍