‍I. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

Đường phân giác trong tam giác là đường thẳng chia góc đó thành 2 góc có độ lớn bằng nhau. Trong một tam giác có 3 đường phân giác và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm.

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường phân giác được hạ từ 3 đỉnh A, B, C: AH, CP, BK và chúng giao nhau tại O.

II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

Đường phân giác trong tam giác có tính chất:

• Ba đường phân giác trong tam giác đồng quy với nhau tại 1 điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn thẳng ấy. Tính chất này cũng đúng đối với phân giác góc ngoài tam giác.

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường phân giác AH, CP, BK 

• 3 đường phân giác đồng quy tại O, O là tâm đường tròn nội tiếp △ABC.
• \({HB\over HC}={AB\over AC}\) , \({PA\over PB}={AC\over BC}\) , \({KA\over KC}={AB\over BC}\)

Chú ý: Không chỉ ở tam giác thường mà ở dạng tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng có đường phân giác và tính chất của đường phân giác vẫn giữ nguyên.

Đường phân giác trong tam giác cân, tam giác đều

Đường phân giác trong tam giác cân hạ từ đỉnh cân xuống cạnh đáy vừa là đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao.

Đường phân giác trong tam giác đều hạ 3 đỉnh đều là đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao.

III. CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 

Công thức chung:

Công thức chung tính độ dài đường cao của một tam giác dựa vào độ dài của 2 cạnh bên đã cho và số đo góc chứa đường phân giác:

$$m = {2.bc.\cos{\alpha \over 2} \over b+c}$$

hoặc

$$m = {bc \over b+c}.\sqrt{2.(1+\cos \alpha)}$$

Trong đó:

• m: Độ dài đường phân giác của tam giác.

• b, c: Độ dài cạnh của tam giác.
• ⍺: số đo góc chưa đường phân giác.
  

Đường phân giác trong tam giác đều

Đường phân giác tam giác đều có độ dài bằng nhau, đường phân giác trong tam giác đều hạ 3 đỉnh cũng là đường cao, áp dụng định lý Heron ta có công thức tính đường phân giác trong tam giác đều:

$$m ={a \sqrt{3} \over 2}$$

Trong đó:

• m: Độ dài đường phân giác của tam giác đều.

• a: Cạnh của tam giác đều.

IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 

Ví dụ: Cho hình △ABC có đường cao AD (D ∊ BC), biết AB= 10m, AC= 12m, ∠BAC = 60°. Tính độ dài đường phân giác trong AD?

Lời giải tham khảo:

Áp dụng công thức tính độ dài đường phân giác, ta có:

\(AD = {2.10.12.\cos 60° \over 10+12}= {60\over 11}\)

Vậy độ dài đường phân giác trong AD là \( {60\over 11}\)