‍I. ĐỊNH NGHĨA

Hình tam giác là một loại hình cơ bản trong hình học, là hình có ba đỉnh được tạo bởi ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh của hình tam giác là ba đoạn thẳng được nối giữa các đỉnh với nhau. 

Ví dụ: hình ABC trên là hình tam giác được tạo bởi 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, △ABC có 3 cạnh AB, AC, BC.

II. TÍNH CHẤT HÌNH TAM GIÁC

1. Tính chất về góc: 

Tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180°.

Xét △ABC ta có: 

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Số đo góc ngoài bằng tổng số đo của 2 góc trong không kề với nó.

Xét △ABC ta có tia Cx là tạo ∠ACx là góc ngoài của △ABC :

∠ACx = ∠A + ∠B.

2. Tính chất về cạnh: Bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác tổng độ dài 2 cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại, hiệu độ dài 2 cạnh bất kì luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Xét △ABC ta có:

AB + BC > AC.

丨AB - BC丨< AC.

3. Hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau là 2 tam giác có các cạnh và các góc của chúng tương ứng bằng nhau.

Xét △ABC = △MNQ:

⇔ AB = MN, BC = MQ, AC= MQ; ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠Q

Để chứng mình hai tam giác bằng nhau ta có 3 trường hợp:

• Cạnh cạnh cạnh (c.c.c): hai tam giác có 3 cạnh tương ứng bằng nhau.
• Cạnh góc cạnh (c.g.c): hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau và góc xen giữa 2 cạnh ấy bằng nhau.
• Góc cạnh góc (g.c.g): hai tam giác có 2 góc bằng nhau và cạnh xen giữa 2 góc ây bằng nhau.

Để chứng mình hai tam giác vuông bằng nhau ta có 3 trường hợp: 

• Cạnh góc vuông góc nhọn kề (cgv-gnk): hai tam giác vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn kề của chúng bằng nhau.
• Cạnh huyền góc nhọn (ch-gn): hai tam giác vuông có cạnh huyền và góc nhọn của chúng bằng nhau.
• Cạnh huyền cạnh góc vuông (ch-cgv): hai tam giác vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông của chúng bằng nhau.

III. CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

• Đường trung tuyến: đường trung tuyến trong tam giác là đường thẳng nối một đỉnh tam giác với trung điểm của cạnh đối diện nó. Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm.

• Đường cao: đường cao trong tam giác là đường thẳng từ đỉnh tam giác hạ vuông góc xuống cạnh đối diện. Trong một tam giác có 3 đường cao và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm.

• Đường phân giác: đường phân giác trong tam giác là đường thẳng chia góc đó thành 2 góc có độ lớn bằng nhau. Trong một tam giác có 3 đường phân giác và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm.

• Đường trung trực: đường trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy. Trong một tam giác có 3 đường trung trực và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm.

• Đường trung bình: đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm của 2 cạnh của tam giác.

• Đường tròn ngoại tiếp tam giác: đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

• Đường tròn nội tiếp tam giác: đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

IV.  TAM GIÁC NHỌN

Tam giác nhọn là tam giác có 3 góc trong của nó có số đo nhỏ hơn 90°. 

Chú ý: tam giác vuông không phải là tam giác nhọn, tam giác nhọn phải đủ yêu cầu cả 3 góc, mỗi góc đều nhỏ hơn 90 độ.

Ta có: △ABC là tam giác nhọn vì ∠A, ∠B, ∠C đều nhỏ hơn 90°.

V. TAM GIÁC TÙ

Tam giác tù là tam giác có một góc bất kỳ trong tam giác có số đo lớn hơn 90° và một tam giác tù sẽ chỉ có 1 góc tù duy nhất.

Ta có: △ABC là tam giác tù vì ∠A lớn hơn 90°.

VI. TAM GIÁC VUÔNG

1. Định nghĩa và tính chất:

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có 1 góc trong bằng 90° (1 góc vuông) và có hai góc nhọn còn lại phụ nhau. 

Chú ý: tam giác vuông chỉ có duy nhất 1 góc 90°, bởi theo tính chất tam giác tổng các góc trong tam giác là 180°.

Ta có: △ABC là tam giác vuông tại B, trong đó AB, BC là các cạnh bên góc vuông, AC là cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông).

Tính chất: Tam giác vuông ABC vuông tại B có tính chất:

∠B = 90°, ∠A + ∠C = 90°.

Gắn liền với định lý Pitago: AC² = AB² + BC².

Đường trung tuyến ứng BM với cạnh huyền AC ⇔ AM = MC = BM = ½ AC.

2. Dấu hiệu nhận biết: 

Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông:

• Tam giác có 1 góc trong của nó bằng 90°.
• Tam giác có 2 góc nhọn trong phụ nhau.
• Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh còn lại.
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh và bằng một nửa cạnh ấy.
• Tam giác nội tiếp đường tròn và có 1 cạnh là đường kính của hình tròn đó. 

VII. TAM GIÁC CÂN

1. Định nghĩa và tính chất:

Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác hai cạnh của nó có độ dài bằng nhau.

Ta có: △ABC là tam giác cân tại A có hai cạnh bên AB = AC, ∠A là góc ở đỉnh cân và 2 góc ở đáy ∠B = ∠C.

Tính chất: Tam giác cân ABC vuông tại A có tính chất:

AB = AC.

∠B = ∠C.

AH vừa là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác từ đỉnh cân A của △ABC cân.

2. Dấu hiệu nhận biết: 

Dấu hiệu nhận biết tam giác cân là:

• Tam giác có hai cạnh của chúng bằng nhau.
• Tam giác có hai góc trong của chúng bằng nhau.
• Tam giác có hai trên ba đường: đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác trùng nhau. 

VIII. TAM GIÁC ĐỀU

1. Định nghĩa và tính chất:

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh của chúng có độ dài bằng nhau.

Ta có: △ABC là tam giác đều có ba cạnh bên AB = AC = BC, ba góc trong ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°.

Tính chất: Tam giác đều ABC có tính chất:

AB = AC = BC.

∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°.

Các đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác hạ từ mỗi đỉnh đều trùng nhau: AH, BJ, CK đều là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác của △ABC đều.

2. Dấu hiệu nhận biết: 

Dấu hiệu nhận biết tam giác đều là:

• Tam giác có ba cạnh của chúng bằng nhau.
• Tam giác có ba góc trong của chúng bằng nhau.
• Tam giác có hai góc bằng 60°.
• Tam giác cân có một góc bằng 60°. 

IX. TAM GIÁC VUÔNG CÂN

1. Định nghĩa và tính chất:

Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông của nó bằng nhau hay tam giác cân có một góc vuông.

Ta có: △ABC là tam giác vuông cân tại B có hai cạnh góc vuông AB = BC, hai góc trong ∠A = ∠C = 45°.

Tính chất: Tam giác vuông cân ABC tại B có tất cả các tính chất tam giác vuông và tam giác cân: 

Gắn liền với định lý Pitago: AC² = AB² + BC².

Đường trung tuyến ứng BH với cạnh huyền AC ⇔ AH = HC = BH = ½ AC.

AB = BC.

∠A = ∠C = 45°.

BH vừa là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác từ đỉnh B.

2. Dấu hiệu nhận biết: 

Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân là:

• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
• Tam giác cân có 1 góc vuông.

X. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TAM GIÁC

Ví dụ bài tập: Cho các hình sau đây, là hình tam giác gì?

Lời giải tham khảo:

a) △ABC là tam giác cân tại A vì có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác từ đỉnh A.

b) △MNP là tam giác đều vì có ba cạnh của tam giác MN = NP = PM.

c) △JQK là tam giác vuông cân tại J vì △JQK là tam giác cân (JQ = JK) mà có ∠J = 90°.