I. HÌNH VIÊN PHÂN LÀ GÌ?

Trong hình học phẳng, hình viên phân là phần thuộc hình tròn được giới hạn bởi một cung (cung nhỏ hơn 180°) của đường tròn và bởi dây cung nối hai điểm đầu cuối của cung.

Ví dụ: Đường tròn (O, R) có hình viên phân gạch chéo được tạo bởi cung tròn AB và dây cung nối hai điểm A, B.

II. CÔNG THỨC TÍNH CHU VI HÌNH VIÊN PHÂN

Chu vi hình viên phân được tính bằng tổng giữa độ dài dây cung nối hai điểm đầu cuối của cung với độ dài cung tròn được chắn bởi hai bán kính tạo hình quạt tròn:

\(P = c + l\) trong đó \(c=2.R.\sin{n\over 2} = R. \sqrt{2-2.\cos n} \)

Trong đó:

• P: Chu vi hình viên phân.
• R: Độ dài bán kính hình tròn.
• c: độ dài dây cung nối hai điểm đầu cuối của cung
• l: Độ dài cung tròn được chắn bởi hai bán kính tạo hình viên phân.
• n: góc tạo bởi cung tròn.

III. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH HÌNH VIÊN PHÂN

Công thức diện tích của hình viên phân được tính bằng diện tích hình quạt tròn chắn bởi hai bán kính tạo thành một góc θ được đo bằng radian trừ cho diện tích hình tam giác nằm trong cung tròn đó:

\(S_{vp} = S_{qt}-S_{△}\) mà \(S_{qt} = {R^2 \over 2}.\theta, S_{△}={R^2 \over 2}.\sin\theta\) nên \(S_{vp} ={R^2 \over 2}. (\theta-\sin\theta) \)

Trong đó:

• \(S_{vp}\): Diện tích của hình viên phân.
• \(S_{qt}\): Diện tích của hình quạt tròn.
• \(S_{△}\): Diện tích của hình tam giác.

• R: Độ dài bán kính hình tròn.
• θ : góc tạo bởi cung tròn được đo bằng radian.

Ngoài ra diện tích của hình viên phân còn có công thức theo độ α:

\(S_{vp} ={R^2 \over 2}. ({π.\alpha\over 180}-\sin\alpha)\)

Trong đó:

• \(S_{vp}\): Diện tích của hình viên phân.

• R: Độ dài bán kính hình tròn.
• α: góc tạo bởi cung tròn được đo bằng độ.
• π: là ký hiệu số pi, π= 3,14.

IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC TÍNH CHU VI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH VIÊN PHÂN

Ví dụ: Tính diện tích một hình viên phân được giới hạn bởi 2 bán kính 12m, góc tạo bởi cung tròn là \(π \over 2\).

Lời giải tham khảo:

Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn ta có diện tích hình viên phân trên là:

\(S_{vp} ={R^2 \over 2}. (\theta-\sin\theta) = {12^2 \over 2}.({π \over 2}- {\sin {π\over 2}})= 41,04 \) (m²)